pembuktian analisis real (sifat Aljabar)

Sifat-Sifat Aljabar Bilangan Real  dan Pembuktianya

Pada  R  terhadap dua operasi biner masing-masing disebut penjumlahan dan perkalian yang biasa dinyatakan dengan “ + “ dan “ . “ . kedua operasi ini memenuhi sifat-sifat berikut.

                ( A1 )     Sifat komutatif penjumlahan

                                a + b = b + a  untuk semua a dan b di R.

                (A2 )      Sifat assosiatif penjumlahan

                                a + ( b + c ) = ( a + b ) + c  untuk semua a, b, c di R.

                ( A3 )     Eksistensi unsur nol

                                Ada 0 di  R  sehingga a + 0 = a  untuk semua a di R.

                ( A4 )     Eksistensi unsur-unsur negative

                                Untuk setiap a di R  ada –a di R  sehingga a + ( -a ) = 0

                ( M1 )   

Sifat komutatif perkalian

                                a . b = b . a  untuk semua  a  dan  b  di  R.

                ( M2 )    Sifat assosiatif perkalian

                                a . ( b . c ) = ( a . b ) . c   untuk semua a, b, c di   R.

                ( M3 )    Eksistensi unsur satuan

                                Ada 1 di  R  sehingga a . 1 = a  untuk setiap a di  R.

                ( M4 )    Eksistensi unsur-unsur balikan

                                Untuk setiap  a  di  R , a ≠0 , ada  1/a di  R  sehingga  a(

                ( D )        Sifat distributive perkalian terhadap penjumlahan

                                Untuk semua a, b, c di  R  berlaku

                                a . ( b +  c ) = a . b +  a . c   dan  ( a + b ) . c = a . c + b . cTeorema 1.        

(i(i)  Jika z dan a adalah unsur-unsur di  R  sehingga z + a = a, maka z =0

Proving :

a + (-a)                 = 0          (A4)

(z+a) +(-a)          = 0          (z + a =a , ada di definisi )

z + (a+(-a))         = 0          (A2)

z + 0                       =0           (A3)

z                              =0           (terbukti)

(i(ii)      Jika u dan  b ≠ 0 adalah unsur-unsur di  R  sehingga u . b = b, maka   u = 1.

Proving :

 b.(1/b)             = 1

(ub).(1/b)          = 1

u.(b(1/b)   )       = 1

u.1                     = 1

u                        = 1     (terbukti)

Teorema 2.        

(i)   Jika a dan b adalah unsur-unsur di R sehingga a + b = 0, maka b  = -a

Proving :

-a =-a

-a +0 =-a

-a+ (a+b) =-a

((-a)+a) + b = -a

0 + b =-a

b = -a (terbukti)

(i)   Jika a≠ 0 dan b adalah unsur-unsur di  R sehingga a . b = 1, maka b= 1/a

     1/a            =  1/a

 1/a . 1       =  1/a

 1/a . (a.b) =  1/a

( 1/a .a). b =  1/a

1 . b        =  1/a

 b            =  1/a (Terbukti)